在銳角△ABC中，已知f（A）=
[cos(π-2A)-1]sin(π+
A
2
)sin(
π
2
-
A
2
)
sin2(
π
2
-
A
2
)-sin2(π-
A
2
)
．
（1）求f（A）的最大值；
（2）當(dāng)f（A）取得最大值時，A+B=
7π
12
，如果AC=
6
，求AB邊和BC邊的長．
考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形
分析：（1）運(yùn)用誘導(dǎo)公式和二倍角公式，化簡f（A），再由正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值；
（2）運(yùn)用正弦定理，及兩角和的正弦公式，即可得到所求值．
解答： 解：（1）f（A）=
[cos(π-2A)-1]sin(π+
A
2
)sin(
π
2
-
A
2
)
sin2(
π
2
-
A
2
)-sin2(π-
A
2
)

=
(1+cos2A)sin
A
2
cos
A
2
cos2
A
2
-sin2
A
2
=
2cos2A•
1
2
sinA
cosA
=
1
2
sin2A，
∵角A為銳角，∴0＜A＜
π
2
，即0＜2A＜π，
∴當(dāng)2A=
π
2
時，f（A）取得最大值，其最大值為
1
2
；
（2）由（1）得：A=
π
4
，又A+B=
7π
12
，∴B=
π
3
，C=
5π
12
，
在△ABC中，AC=
6
，
由正弦定理得：
BC
sinA
=
AC
sinB
=
AB
sinC
，則有
AB=
AC•sinC
sinB
=
6
•
6
+
2
4
3
2
=1+
3
，
BC=
AC•sinA
sinB
=
6
•
2
2
3
2
=2．
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查誘導(dǎo)公式和二倍角公式的運(yùn)用，考查正弦定理及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若f（x）=（m2+2m-2）x m2-m-1，m為何值時，f（x）是：
（1）二次函數(shù)
（2）冪函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列函數(shù)中，周期為π，且在[
π
4
，
π
2
]上為增函數(shù)的是（　�。�
A、y=sin（x+
π
2
）
B、y=cos（x-
π
2
）
C、y=-sin（2x-π）
D、y=cos（2x+π）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

F為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，A，B，C為該拋物線上三點(diǎn)，若
FA
+
FB
+
FC
=
0
，則|
FA
|+|
FB
|+|
FC
|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（2，0），若kMA•kMB=-1，則動點(diǎn)M的軌跡方程為（　　）
A、x2-y2=4（x≠±2）
B、x2-y2=4
C、x2+y2=4（x≠±2）
D、x2+y2=4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，BC是單位圓A的一條直徑，F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn)，且
BF
=
FA
，若DE是圓A中繞圓心A運(yùn)動的一條直徑，則
FD
•
FE
的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

當(dāng)x∈[-2，0]時，函數(shù)y=3x的值域是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=sinxcosx是（　　）
A、最小正周期為2π且在[0，π]內(nèi)有且只有三個零點(diǎn)的函數(shù)
B、最小正周期為2π且在[0，π]內(nèi)有且只有二個零點(diǎn)的函數(shù)
C、最小正周期為π且在[0，π]內(nèi)有且只有三個零點(diǎn)的函數(shù)
D、最小正周期為π且在[0，π]內(nèi)有且只有二個零點(diǎn)的函數(shù)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式f（x）＞0的解集為
 
．

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