Question

已知函數(shù)在處有極大值．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若過原點有三條直線與曲線相切，求的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時，函數(shù)的圖象在拋物線的下方，求的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）通過對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在x=2處有極值，可知f'（2）=0，解得a的值．

（Ⅱ）把（1）求得的a代入函數(shù)關(guān)系式，設(shè)切點坐標(biāo)，進而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)可知切線斜率，則切線方程可得，整理可求得b的表達式，令g'（x）=0解得x1和x2．進而可列出函數(shù)g（x）的單調(diào)性進而可知-64＜b＜0時，方程b=g（x）有三個不同的解，結(jié)論可得．

（Ⅲ）當(dāng)x∈[-2，4]時，函數(shù)y=f（x）的圖象在拋物線y=1+45x-9x2的下方，進而可知x3-12x2+36x+b＜1+45x-9x2在x∈[-2，4]時恒成立，整理可得關(guān)于b的不等式，令h（x）=-x3+3x2+9x+1，對h（x）進行求導(dǎo)由h'（x）=0得x1和x2．分別求得h，h（-1），h（3），h（4），進而可知h（x）在[-2，4]上的最小值是，進而求得b的范圍．

試題解析：（Ⅰ），

或，

當(dāng)時，函數(shù)在處取得極小值，舍去；

當(dāng)時，，函數(shù)在處取得極大值，符合題意，∴．（3分）

（Ⅱ），設(shè)切點為，則切線斜率為，切線方程為，

即 ，

∴．

令，則，

由得，．

函數(shù)的單調(diào)性如下：

	↗	極大值	↘	極小值	↗

 

∴當(dāng)時，方程有三個不同的解，過原點有三條直線與曲線相切．（8分）

（Ⅲ）∵當(dāng)時，函數(shù)的圖象在拋物線的下方，∴在時恒成立，

即在時恒成立，令，則，由得，．

∵，，，，

∴在上的最小值是，．（12分）

考點：等比關(guān)系的確定；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．