已知函數(shù)f(x)=
1
2x-1
+
1
2
．
（1）求f（x）的定義域；   
（2）判斷f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．
分析：（1）求f（x）的定義域可令分母2x-1≠0求解，對函數(shù)的解析式進行變化，判斷出值域即可值域；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性并證明，由解析式可以看出本函數(shù)在（0，+∞）是一個減函數(shù)，可由復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法判斷證明即可．
解答：解：（1）令分母2x-1≠0解得x≠0，故定義域為{x|x≠0}
函數(shù)的解析式可以變?yōu)?f(x)=1+
2
2x-1
，
由于2x-1＞-1，故
1
2x-1
＜-1或
1
2x-1
＞0
故
2
2x-1
＞0或
2
2x-1
＜-2，
∴f(x)=
2x+1
2x-1
的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）f（x）在（0，+∞）是一個減函數(shù)，證明如下：
由于 f(x)=
1
2x-1
+
1
2
，在（0，+∞）上，2x-1遞增且函數(shù)值大于0，
1
2x-1
在（0，+∞）上是減函數(shù)，
故 f(x)=
1
2x-1
+
1
2
在（0，+∞）上是減函數(shù)．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的、函數(shù)的定義域與值域的求法，求解此類題的關鍵是對函數(shù)性質(zhì)的證明方法了然于心，熟知其各種判斷證明方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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