Question

已知拋物線x²=4y與圓x²+y²=32相交于A，B兩點(diǎn)，圓與y軸正半軸交于C點(diǎn)，直線l是圓的切線，交拋物線與M，N，并且切點(diǎn)在

ACB

上．
（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)M，N兩點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離和最大時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，拋物線x²=4y與圓x²+y²=32相交于A，B兩點(diǎn)，可得

x2=4y x2+y2=32

，解可得A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而由

x=0 x2+y2=32 y＞0

，知C的坐標(biāo)．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則|MF|+|NF|=y₁+y₂+2，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則直線l的方程為x₀x+y₀y=32，由此可求出直線l的方程．

解答：解：（1）由

x2=4y x2+y2=32

，解得A（-4，4），B（4，4），由

x=0 x2+y2=32 y＞0

，解得C（0，4

2

）．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則|MF|+|NF|=y₁+y₂+2，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則直線l的方程為x₀x+y₀y=32，
當(dāng)x₀=0時(shí)，y1+y2=8

2

，
|MF|+|NF|=8

2

+2，x₀²=32-y₀²，
y1+y2=

64y0+4x02

y02

=

128

y02

+

64

y0

-4，
∵4≤y0≤4

2

，∴y₁+y₂有最大值20．
這時(shí)|MF|+|NF|=22＞8

2

+2，∴直線l的方程為x-y+8=0或x+y-8=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的直線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．