Question

（2007•威海一模）已知函數(shù)f（x）=

1

2

[tln（x+2）-ln（x-2）]，且f（x）≥f（4）恒成立．
（1）求t的值；
（2）求x為何值時(shí)，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（3）設(shè)F（x）=aln（x-1）-f（x），若F（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（4）是f（x）的最小值，求導(dǎo)函數(shù)，即可求得結(jié)論；
（2）令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求出最大值．
（3）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在R上恒成立即可求出a的范圍

解答：解：（1）f（4）是f（x）的最小值
對(duì)f（x）求導(dǎo)，有f'（x）=

1

2

（

t

x+2

-

1

x-2

），
∴x=4時(shí)，f'（x）=0，∴

t

4+2

-

1

4-2

=0，∴t=3；
（2）f'（x）=

1

2

(

3

x+2

-

1

x-2

)=

x-4

(x+2)(x-2)

∴在x∈（3，4）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)減，在x∈（4，7）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)增
∴求f（x）在[3，7]的最大值只要去比f(wàn)（3）和f（7）的大小就可以了
∵f（3）=

3

2

ln5，f（7）=

3ln9

2

-

ln5

2

∴f（3）＞f（7），∴x=3時(shí)，f（x）在[3，7]上取得最大值，為

3

2

ln5；
（3）F′（x）=

a

x-1

-f′（x）=

a

x-1

-

x-4

(x+2)(x-2)

≥0在（2，+∞）上恒成立
∴

(a-1)x2+5x-4(a+1)

(x-1)(x+2)(x-2)

≥0在（2，+∞）上恒成立
∴（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
下面分情況討論（a-1）x²+5x-4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立時(shí)，a的解的情況．
當(dāng)a-1＜0時(shí)，顯然不可能有（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
當(dāng)a-1=0時(shí)（a-1）x²+5x-4（a+1）=5x-8＞0在（2，+∞）上恒成立．
當(dāng)a-1＞0時(shí)，又有兩種情況：①5²+16（a-1）（a+1）≤0；
②-

5

2(a-1)

≤2且（a-1）×2²+5×2-4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，無(wú)解；由②得a≥-

1

4

，a-1＞0，∴a＞1
綜上所述各種情況，當(dāng)a≥1時(shí)（a-1）x²+5x-4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范圍為[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，考查函數(shù)的最值，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．