如圖,AC是圓O的直徑,點B在圓O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于點M,EA⊥平面ABC,F(xiàn)C∥EA,AC=4,EA=3,F(xiàn)C=1.
(1)證明:EM⊥BF;
(2)(文科)求三棱錐E-ABF的體積
(理科)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值.
分析:(1)根據(jù)線面垂直得到線與線垂直,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,得到兩個三角形是等腰直角三角形,有線面垂直得到結(jié)果.
(2)(文科)由VE-ABF=VB-AEF=
1
3
MB•S△AEF
,求出底面面積和高,代入棱錐體積公式可得答案.
(理科)做出輔助線,延長EF交AC于G,連BG,過C作CH⊥BG,連接FH.,做出∠FHC為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角,求出平面角.
解答:證明:(1)∵EA⊥面ABC,BM?面ABC,
∴EA⊥MB
∴MB⊥AC,AC∩EA=A,
∴MB⊥面ACEF
∵EM?面ACEF,
∴EM⊥MB
在直角梯形ACEF中,EA=3,F(xiàn)C=1,AC=4
∴EF=2
5

在Rt△ABC中,
∵∠BAC=30°,BM⊥AC
∴AM=3,CM=1
∴EM=3
2
,MF=
2

∵EF2=EM2+MF2
∴EM⊥MF,又MB∩MF=M
∴EM⊥面MBF,
∵BF?面MBF
∴EM⊥BF…(8分)
解:(2)
(文科) 由(1)知,MB⊥面ACFE
VE-ABF=VB-AEF=
1
3
MB•S△AEF

在直角梯形ACEF中,
S△AEF=
1
2
AE•AC=6
MB=
3

VE-ABF=2
3
…(14分)
(理科)延長EF交AC于H,連結(jié)BH
過C做CG⊥BH,垂足G
FC∥EA,EA⊥面ABC
∴FC⊥面ABC,
∵BH?面ABC
∴BH⊥FC,∵FC∩CG=C
∴BH⊥面FCG,∵FG?面FCG
∴BH⊥FG
∴∠CGF為平面BEF與平面ABC所成的二面角的平面角
在直角梯形ACEF中,CH=2
在△BCH中,CH=2,BC=2,∠BCH=120°
∴CG=1,
在Rt△CGF中,F(xiàn)C=1
∴∠CGF=45°
平面BEF與平面ABC所成的銳二面角正切值為1…(14分)
點評:本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系,二面角等基礎(chǔ)知識,考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,某城市設(shè)立以城中心O為圓心、r公里為半徑的圓形保護(hù)區(qū),從保護(hù)區(qū)邊緣起,在城中心O正東方向上有一條高速公路PB、西南方向上有一條一級公路QC,現(xiàn)要在保護(hù)區(qū)邊緣PQ弧上選擇一點A作為出口,建一條連接兩條公路且與圓O相切的直道BC.已知通往一級公路的道路AC每公里造價為a萬元,通往高速公路的道路AB每公里造價是m2a萬元,其中a,r,m為常數(shù),設(shè)∠POA=θ,總造價為y萬元.
(1)把y表示成θ的函數(shù)y=f(θ),并求出定義域;
(2)當(dāng)m=
6
+
2
2
時,如何確定A點的位置才能使得總造價最低?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,某城市設(shè)立以城中心O為圓心、r公里為半徑的圓形保護(hù)區(qū),從保護(hù)區(qū)邊緣起,在城中心O正東方向上有一條高速公路PB、西南方向上有一條一級公路QC,現(xiàn)要在保護(hù)區(qū)邊緣PQ弧上選擇一點A作為出口,建一條連接兩條公路且與圓O相切的直道BC.已知通往一級公路的道路AC每公里造價為a萬元,通往高速公路的道路AB每公里造價是m2a萬元,其中a,r,m為常數(shù),設(shè)∠POA=θ,總造價為y萬元.
(1)把y表示成θ的函數(shù)y=f(θ),并求出定義域;
(2)當(dāng)數(shù)學(xué)公式時,如何確定A點的位置才能使得總造價最低?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省宿遷市沭陽縣高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,某城市設(shè)立以城中心O為圓心、r公里為半徑的圓形保護(hù)區(qū),從保護(hù)區(qū)邊緣起,在城中心O正東方向上有一條高速公路PB、西南方向上有一條一級公路QC,現(xiàn)要在保護(hù)區(qū)邊緣PQ弧上選擇一點A作為出口,建一條連接兩條公路且與圓O相切的直道BC.已知通往一級公路的道路AC每公里造價為a萬元,通往高速公路的道路AB每公里造價是m2a萬元,其中a,r,m為常數(shù),設(shè)∠POA=θ,總造價為y萬元.
(1)把y表示成θ的函數(shù)y=f(θ),并求出定義域;
(2)當(dāng)時,如何確定A點的位置才能使得總造價最低?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:陜西省寶雞中學(xué)2010屆高三適應(yīng)性訓(xùn)練(數(shù)學(xué)理) 題型:填空題

 A.(參數(shù)方程與極坐標(biāo))

直線與直線的夾角大小為         

 

B.(不等式選講)要使關(guān)于x的不等式在實數(shù)

范圍內(nèi)有解,則A的取值范圍是                  

C.(幾何證明選講) 如圖所示,在圓O中,AB是圓O的直

徑AB =8,E為OB.的中點,CD過點E且垂直于AB,

EF⊥AC,則

CF•CA=            

 

 

 

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案