Question

在四棱錐P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB=AD=2，CD⊥BD，異面直線PA，CD所成角等于60°
（1）求證：面PCD⊥面PBD；
（2）求直線PC和平面PAD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在一點E使得二面角A-BE-D的余弦值為

6

6

？若存在，指出E在棱PA上的位置．若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）分別以BA，BC，BP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，由CD⊥PD，得C（0，4，0），異面直線PA和CD所成角等于60°，得P（0，0，2）．求出平面PCD的法向量和平面PBD的法向量，由此能證明面PCD⊥面PBD．
（2）求出

PC

=（0，4，-2）和平面PAD的法向量，由此能求出直線PC和平面PAD所成角的正弦值．
（3）設(shè)

BE

=m

BA

+（1-m）

BP

=m（2，0，0）+（1-m）（0，0，2）=（2m，0，2-2m），0＜m＜1，求出平面ABE的法向量和平面DBE的法向量，由已知條件利用向量法能求出E（

4

3

，0，

2

3

）．

解答： （1）證明：分別以BA，BC，BP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0），D（2，2，0），設(shè)P（0，0，p），p＞0，C（0，c，0），

CD

=（2，2-c，0），

PD

=（2，2，-p），
∵CD⊥PD，∴

CD

•

PD

=（2，2-c，0）•（2，2，-p）=4+2（2-c）=0，
解得c=4，∴C（0，4，0）．

PA

=（2，0，-p），∵異面直線PA和CD所成角等于60°，
∴

PA

•

CD

=（2，0，-p）•（2，-2，0）=4=

8(4+p2)

cos60°，
由p＞0，解得p=2，∴P（0，0，2）．
∴

PC

=（0，4，-2），

PD

=（2，2，-2），

PB

=（0，0，-2），
設(shè)平面PCD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PC =4y-2z=0 n • PD =2x+2y-2z=0

，取y=1，得

n

=（1，1，2），
設(shè)平面PBD的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • PB =-2c=0 m • PD =2a+2b-2c=0

，取a=1，得

m

=（1，-1，0），
∵

m

•

n

=1-1+0=0，
∴面PCD⊥面PBD．
（2）解：∵

PC

=（0，4，-2），

PA

=（2，0，-2），

AD

=（0，2，0），
設(shè)平面PAD的法向量

p

=（u，v，t），
則

p • PA =2u-2t=0 p • AD =2v=0

，取u=1，得

p

=（1，0，1），
設(shè)直線PC和平面PAD所成角為θ，
sinθ=|cos＜

PC

，

p

＞|=

| PC • p |

| PC |•| p |

=

2

20 • 2

=

10

10

，
∴直線PC和平面PAD所成角的正弦值為

10

10

．
（3）解：設(shè)

BE

=m

BA

+（1-m）

BP

=m（2，0，0）+（1-m）（0，0，2）=（2m，0，2-2m），0＜m＜1，
平面ABE的法向量

q

=（0，1，0），

BD

=(2，2，0)，
設(shè)平面DBE的法向量

v

=（x₁，y₁，z₁），
則

v • BE =2mx1+(2-2m)z1=0 v • BD =2x1+2y1=0

，取z=m，得

v

=（m-1，1-m，m），
設(shè)二面角A-BE-D的平面角為α，
∵二面角A-BE-D的余弦值為

6

6

，
∴cosα=

| q • v |

| q |•| v |

=

|1-m|

3m2-4m+2

=

6

6

，
整理得3m²-8m+4=0，由0＜m＜1，解得m=

2

3

，
∴E（

4

3

，0，

2

3

）．

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，線面角、面面垂直、二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．