Question

已知函數(shù)f（x）=x^2t-2t（x²+x）+x²+2t²+1，g（x）=

1

2

f（x）．
（I）證明：當t＜2

2

時，g（x）在R上是增函數(shù)；
（Ⅱ）對于給定的閉區(qū)間[a，b]，試說明存在實數(shù)k，當t＞k時，g（x）在閉區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)；
（Ⅲ）證明：f（x）≥

3

2

．

Answer 1

（I）證明：由題設(shè)易得g（x）=e^2x-t（e^x-1）+x，g'（x）=2e^2x-te^x+1．又2ex+e-x≥2

2

，且t＜2

2

得t＜2e^x+e^-x，
te^x＜2e^2x+1，即g'（x）=2e^2x-te^x+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函數(shù)．
（II）因為g'（x）＜0是g（x）為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實數(shù)k，使得t＞k時g'（x）=2e^2x-te^x+1＜0，即t＞2e^x+e^-x在閉區(qū)間[a，b]上成立即可．因為y=2e^x+e^-x在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，故在閉區(qū)間[a，b]上有最大值，設(shè)其為k，于是在t＞k時，g'（x）＜0在閉區(qū)間[a，b]上恒成立，即g（x）在閉區(qū)間[a，b]上為減函數(shù)．
（III）設(shè)F（t）=2t²-2（e^x+x）t+e^2x+x²+1，即F(t)=2(t-

ex+x

2

)2+

1

2

(ex-x)2+1
易F(t)≥

1

2

(ex-x)2+1，令H（x）=e^x-x，則H'（x）=e^x-1，易知H'（0）=0．當x＞0時，H'（0）＞0；當x＜0時，H'（0）＜0．故當x=0時，H（x）取最小值，H（0）=1．所以

1

2

(ex-x)2+1≥

3

2

于是對任意的x，t，都有F(t)≥

3

2

，即f(x)≥

3

2