Question

18．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，DE的延長線交CA的延長線于點(diǎn)F，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AF}$的值為$-\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合已知求出D、F的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{AF}$的坐標(biāo)，則答案可求．

解答 解：如圖，
分別以AC、AB所在直線為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（0，0），C（2，0），B（0，1），
∵$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴E（0，$\frac{1}{3}$），
又$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BC}$，得D（$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$），
設(shè)F（m，0），則$\overrightarrow{DE}=（-\frac{2}{3}，-\frac{1}{3}）$，$\overrightarrow{EF}=（m，-\frac{1}{3}）$，
由$\overrightarrow{DE}∥\overrightarrow{EF}$，得$-\frac{2}{3}×（-\frac{1}{3}）+\frac{m}{3}=0$，即m=$-\frac{2}{3}$．
∴$\overrightarrow{AD}=（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}），\overrightarrow{AF}=（-\frac{2}{3}，0）$，
則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AF}$=$-\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=-\frac{4}{9}$．
故答案為：$-\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示，建立平面直角坐標(biāo)系簡化了該題解題過程，是中檔題．