Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（a≠0）有且僅有唯一的實數(shù)x滿足f（x）≤0．
（1）數(shù)列{a_n}前n項和S_n滿足S_n=f（n）-4，求{a_n}的通項公式；
（2）從數(shù)列{a_n}中依次取出第1項，第2項，第4項，…第2^n-1項，…組成子數(shù)列{b_n}，求{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）由“二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（a≠0）有且僅有唯一的實數(shù)x滿足f（x）≤0”則函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，則通過△=a²-4a=0求解a從而有f（x）=x²-4x+4，得到S_n=f（n）-4=n²-4n+4-4=n²-4n，最后由通項與前n項和的關(guān)系求解．
（2）由綜上：a_n=2n-5，用換元法可求得b_n=a2n-1 =2n-5，是一個等比數(shù)列與等差數(shù)列和的形式，分別通過其前n項和求解．

解答： 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²-ax+a（a≠0）有且僅有唯一的實數(shù)x滿足f（x）≤0
∴△=a²-4a=0
∴a=4
∴f（x）=x²-4x+4
∵S_n=f（n）-4=n²-4n+4-4=n²-4n
當(dāng)n=1時，S₁=n²-4n=-3
當(dāng)n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=2n-5
綜上：a_n=2n-5
（2）根據(jù)題意：b_n=a2n-1 =2n-5
∴s_n=2¹+2²+…+2ⁿ-5n=

2(1-2n)

1-2

-5n=2ⁿ⁺¹-2-5n

點評：本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合運用，主要涉及了數(shù)列的通項，前n項和及其關(guān)系，以及構(gòu)造數(shù)列研究其通項與求和問題．