【題目】已知函數(shù)f(x)= x3﹣x2+x.
(1)求函數(shù)f(x)在[﹣1,2]上的最大值和最小值;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣4x,x∈[﹣3,2],求g(x)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】
(1)解:f′(x)=x2﹣2x+1≥0,
故f(x)在[﹣1,2]遞增,
f(x)max=f(2)= ,f(x)min=f(﹣1)=﹣
(2)解:g(x)=f(x)﹣4x= x3﹣x2﹣3x,x∈[﹣3,2],
g′(x)=x2﹣2x﹣3=(x﹣3)(x+1),
令g′(x)>0,解得:x<﹣1,令g′(x)<0,解得:x>﹣1,
故g(x)在[﹣3,﹣1]遞增,在[﹣1,2]遞減.
【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可;(2)求出函數(shù)g(x)的導數(shù),解關(guān)于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x﹣ .
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為菱形,∠ABC= ,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,M為PA的中點,N為BC的中點
(1)證明:直線MN∥平面PCD;
(2)求異面直線AB與MD所成角的余弦值;
(3)求點B到平面PCD的距離.
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【題目】“a≥3 ”是“直線l:2ax﹣y+2a2=0(a>0)與雙曲線C: ﹣ =1的右支無交點”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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【題目】設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù),并且滿足f(xy)=f(x)+f(y), .
(1)求f(1)的值;
(2)如果f(x)+f(2﹣x)<2,求x的取值范圍.
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【題目】數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n﹣3(n∈N*)
(Ⅰ)若{an}是等差數(shù)列,求其通項公式;
(Ⅱ)若{an}滿足a1=2,Sn為{an}的前n項和,求S2n+1 .
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【題目】如圖,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,點D在AB上.
(1)若D是AB中點,求證:AC1∥平面B1CD;
(2)當 = 時,求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值.
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【題目】如圖,已知橢圓: ,其左右焦點為 及,過點的直線交橢圓于, 兩點,線段的中點為, 的中垂線與軸和軸分別交于, 兩點,且、、構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求橢圓的方程;
(2)記的面積為, (為原點)的面積為.試問:是否存在直線,使得?說明理由.
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【題目】若函數(shù)對任意,都有,則稱函數(shù)是“以為界的類斜率函數(shù)”.
(1)試判斷函數(shù)是否為“以為界的類斜率函數(shù)”;
(2)若實數(shù),且函數(shù)是“以為界的類斜率函數(shù)”,求的取值范圍.
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