Question

17．已知函數f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-1（ω＞0）的周期為π．
（1）當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求f（x）的取值范圍；
（2）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用降冪公式降冪，再由輔助角公式化簡，由x的范圍求得相位的范圍，則函數的取值范圍可求；
（2）利用復合函數的單調性求得原函數的單調區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=sin²ωx+$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-1=$\frac{1-cos2ωx}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-1$
=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}$．
∵ω＞0，∴T=$\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}=π$，則ω=1．
∴函數f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$．
由0$≤x≤\frac{π}{2}$，得$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
∴$-1≤sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{1}{2}≤\frac{1}{2}$．
∴f（x）的取值范圍[-1，$\frac{1}{2}$]；
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
得：$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}$，（k∈Z），
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，（k∈Z）．

點評 本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，是中檔題．