Question

等差數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，已知對任意的n∈N^*，點（n，S_n）在二次函數(shù)f（x）=x²+c圖象上．
（1）求c，a_n；
（2）若k_n=

an

2n

，求數(shù)列{k_n}前n項和T_n ．

Answer 1

分析：（1）由點（n，S_n）在二次函數(shù)f（x）=x²+c的圖象上，知Sn=n2+c，再由a_n是等差數(shù)列，能求出c，a_n．
（2）由（1）知kn=

2n-1

2n

，故T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，利用錯位相減法能夠求出T_n．

解答：解：（1）點（n，S_n）在二次函數(shù)f（x）=x²+c的圖象上，
∴Sn=n2+c，
a₁=S₁=1+c，
a₂=S₂-S₁=（4+c）-（1+c）=3，
a₃=S₃-S₂=5，
又∵a_n是等差數(shù)列，
∴6+c=6，c=0，
d=3-1=2，a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）∵a_n=2n-1，k_n=

an

2n

，
∴kn=

2n-1

2n

，
∴T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，…①

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，…②
①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+2（

1

22

+

1

23

+

1

23

+…+

1

2n

）-

2n-1

2n+1

=

1

2

+2×

1 22 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

．
∴T_n=3-

2n+3

2n

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯位相減法和合理運用．