Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點P（3，1），其左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且

F1P

•

F2P

=-6．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若M，N是直線x=5上的兩個動點，且F₁M⊥F₂N，則以MN為直徑的圓C是否過定點？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意分別寫出

F1P

與

F2P

，所以

F1P

•

F2P

=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，解得c=4，再結(jié)合橢圓的定義可得a得數(shù)值，進而得到橢圓E的方程．　　　　
（2）設M，N的坐標分別為（5，m），（5，n），則得到

F1M

，

F2N

，所以

F1M

•

F2N

=9+mn=0，即mn=-9，并且得到圓C的方程為(x-5)2+(y-

m+n

2

)2=(

|m-n|

2

)2，化簡可得（x-5）²+y²-（m+n）y-9=0，令y=0，可得x=8或2，即可得到答案．

解答：解：（1）設點F₁，F(xiàn)₂的坐標分別為（-c，0），（c，0）（c＞0），
則

F1P

=(3+c，1)，

F2P

=(3-c，1)，
故

F1P

•

F2P

=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，
解得c=4，
所以2a=|PF1|+|PF2|=

(3+4)2+12

+

(3-4)2+12

=6

2

，
所以a=3

2

，b2=a2-c2=18-16=2，
所以橢圓E的方程為

x2

18

+

y2

2

=1．　　　　　
（2）設M，N的坐標分別為（5，m），（5，n），則

F1M

=(9，m)，

F2N

=(1，n)，
因為

F1M

⊥

F2N

，
所以

F1M

•

F2N

=9+mn=0，即mn=-9，
又因為圓C的圓心為(5，

m+n

2

)，半徑為

|m-n|

2

，
所以圓C的方程為(x-5)2+(y-

m+n

2

)2=(

|m-n|

2

)2，
即（x-5）²+y²-（m+n）y+mn=0，即（x-5）²+y²-（m+n）y-9=0，
令y=0，可得x=8或2，
所以圓C必過定點（8，0）和（2，0）．

點評：此題是個中檔題．考查橢圓的定義和標準方程的求法，以及圓與橢圓的綜合等知識，同時考查了學生分析問題與解決問題的能力．