Question

已知函數(shù)f（x）=|x²-2ax+b|（x∈R），給出下列命題：
（1）f（x）必是偶函數(shù)；
（2）當f（0）=f（2）時，f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
（3）若a²-b≤0，則f（x）在區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)；
（4）f（x）有最大值|a²-b|．
其中正確的命題序號是（ ）
A．（3）
B．（2）（3）
C．（3）（4）
D．（1）（2）（3）

Answer 1

【答案】分析：分別討論參數(shù)a，b的取值情況，結合二次函數(shù)的圖象和性質進行判斷即可．（1）利用奇偶性的定義可以判斷，當a≠0時，f（x）必非奇非偶函數(shù)．（2）由f（0）=f（2）得到a，b的關系，然后根據(jù)a，b的關系通過配方得到對稱軸．（3）當a²-b≤0時，此時x²-2ax+b=（x-a）²+b-a²≥0，此時可以去掉絕對值，利用二次函數(shù)的性質判斷．（4）由（3）可以知道當a²-b≤0時，二次函數(shù)開口向上有最小值．
解答：解：（1）當a=0時，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，當a≠0時，f（x）必非奇非偶函數(shù)，所以（1）錯誤．
（2）若f（0）=f（2），則|b|=|4-4a+b|，所以4-4a+b=b或4-4a+b=-b，即a=1或b=2a-2．當a=1時，f（x）的對稱軸為x=1．
當b=2a-2時，f（x）=|x²-2ax+2a-2|=|（x-a）²-2-a²|，此時對稱軸為x=a，所以（2）錯誤．
（3）若a²-b≤0，則f（x）=|x²-2ax+b|=|（x-a）²+b-a²|=（x-a）²+b-a²，所以此時函數(shù)區(qū)間[a，+∞）上是增函數(shù)，所以（3）正確．
（4）由（3）知，當a²-b≤0，函數(shù)f（x）有最小值|a²-b|=a²-b，所以（4）錯誤．
故選A．
點評：本題主要考查函數(shù)的圖象和性質，利用二次函數(shù)的圖象和性質是解決本題的關鍵．考查學生的綜合應用．