Question

已知函數(shù)f(x)=

3x+1-1

3x-1

，函數(shù)g（x）=2-f（-x）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若當x∈（-1，0）時，g（x）＜tf（x）恒成立，求實數(shù)t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）因為f(x)=

3x+1-1

3x-1

，函數(shù)g（x）=2-f（-x）．
所以g(x)=2-

3-x+1-1

3-x-1

=2-

3-3x

1-3x

=

3x+1

3x-1

，定義域為{x|x≠0}關(guān)于原點對稱，
因為g(-x)=

3-x+1

3-x-1

=

1+3x

1-3x

=-

3x+1

3x-1

=-g(x)，
所以g（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）由g（x）＜tf（x）得，

3x+1

3x-1

＜t•

3x+1-1

3x-1

，（*）
 當x∈（-1，0）時，

1

3

＜3x＜1，-

2

3

＜3x-1＜0，
（*）式化為3^x+1＞t（3^x+1-1），（**） …（9分）
設3^x=u，u∈(

1

3

，1)，則（**） 式化為  （3t-1）u-t-1＜0，…（11分）
再設h（u）=（3t-1）u-t-1，
則g（x）＜tf（x）恒成立等價于

h( 1 3 )≤0 h(1)≤0

，

(3t-1)• 1 3 -t-1≤0 (3t-1)•1-t-1≤0

，

t∈R t≤1

，
解得t≤1，故實數(shù)t的最大值為1．…（14分）

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求含參問題恒成立問題，綜合性較強，考查學生的運算能力．