Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=.

（Ⅰ）求證：平面PQB⊥平面PAD；

（Ⅱ）設(shè)PM=t MC，若二面角M-BQ-C的平面角的大小為30°，試確定t的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】本題考查平面與平面垂直的證明，求實(shí)數(shù)的取值．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，合理地運(yùn)用向量法進(jìn)行解題．

（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC= AD，Q為AD的中點(diǎn)，知四邊形BCDQ為平行四邊形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能夠證明平面PQB⊥平面PAD．

法二：由AD∥BC，BC=

AD，Q為AD的中點(diǎn)，知四邊形BCDQ為平行四邊形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此證明平面PQB⊥平面PAD．

（Ⅱ）由PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能夠求出t=3．

解：（I）方法一∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ．    

∵∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．又

∵平面PAD⊥平面ABCD  且平面PAD∩平面ABCD=AD， 

∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．   ……………………6分

方法二：AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點(diǎn)，  ∴ 四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ ．

∵ ∠ADC=90°    ∴∠AQB=90°．  ∵ PA=PD，  ∴PQ⊥AD．

∵ PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ． ∵ AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．…………6分

（II）∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，  ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．

則平面BQC的法向量為；

，，

，．

設(shè)，則，，

∵，

∴ ，  

∴   ………………9分

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量為．       

∵二面角M-BQ-C為30°，，

∴ ．       …………………………12分