已知向量
m
=(sinx，
3
2
)，
n
=(cosx，-1)，設f(x)=(
m
+
n
)•
n
．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式，并求f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若f(A)=
1
2
，b=1，S△ABC=
1
2
，求a的值．
分析：（1）根據(jù)
m
=(sinx，
3
2
)，
n
=(cosx，-1)，利用數(shù)量積公式，結合輔助角公式化簡函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調遞減區(qū)間，即可得到結論；
（2）由f(A)=
2
2
sin(2A+
π
4
)=
1
2
得sin(2A+
π
4
)=
2
2
，從而可求A的值，利用三角形的面積公式，結合余弦定理可求a的值．
解答：解：（1）∵
m
=(sinx，
3
2
)，
n
=(cosx，-1)
∴f(x)=(
m
+
n
)•
n
=
m
•
n
+
n
2=sinxcosx+cos2x-
1
2
=
2
2
sin(2x+
π
4
)．
令
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
3π
2
+2kπ，得
π
8
+kπ≤x≤
5π
8
+kπ（k∈Z），
所以函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間是[
π
8
+kπ，
5π
8
+kπ]（k∈Z）． …（6分）
（2）由f(A)=
2
2
sin(2A+
π
4
)=
1
2
得sin(2A+
π
4
)=
2
2
．
又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴2A+
π
4
=
3
4
π，∴A=
π
4
．
∵b=1，S△ABC=
1
2
，∴
1
2
bcsinA=
1
2
． 
∵a2=b2+c2-2bccosA
∴a=1…（12分）
點評：本題考查向量的運算、三角變換、三角函數(shù)的單調性、三角形的面積、余弦定理等知識，考查學生運算能力和運用用知識的能力，中等題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，若
m
⊥
n
，則sin2θ的值為
 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinωx，cosωx)，
n
=(cosωx，cosωx)(ω＞0)，設函數(shù)f(x)=
m
•
n
且f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）先將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，然后將圖象向下平移
1
2
個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上[0，
3π
4
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinθ，2cosθ)，
n
=(
3
，-
1
2
)，當θ∈[0，π]時，函數(shù)f(θ)=
m
•
n
的值域是
[-1，2]
[-1，2]
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•上海二模）已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
)，sinx)，
n
=（1，sinx），f（x）=
m
•
n
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若f（
B
2
）=
2
+1
2
，b=
5
，c=
3
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知向量
m
=(sin 
A
2
，cos 
A
2
)，
n
=(cos 
A
2
，-cos 
A
2
)，且2
m
•
n
+|
m
|=
2
2
，
AB
•
AC
=1．
（1）求角A的大小
（2）求△ABC的面積．

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