Question

設(shè)m，n∈Z，已知函數(shù)f（x）=log₂（-|x|+4）的定義域是[m，n]，值域是[0，2]，若關(guān)于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的實(shí)數(shù)解，則m+n=________．

Answer 1

1
分析：由關(guān)于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的實(shí)數(shù)解，我們易得m的值，然后根據(jù)函數(shù)f（x）=log₂（-|x|+4）的定義域是[m，n]，值域是[0，2]，結(jié)合函數(shù)f（x）=log₂（-|x|+4）的性質(zhì)，可求出n的值，進(jìn)而得到答案．
解答：∵f（x）=log₂（-|x|+4）的值域是[0，2]，
∴（-|x|+4）∈[1，4]
∴-|x|∈[-3，0]
∴|x|∈[0，3]…①
若若關(guān)于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的實(shí)數(shù)解
則m=-2
又由函數(shù)f（x）=log₂（-|x|+4）的定義域是[m，n]，
結(jié)合①可得n=3
即：m+n=1
故答案：1
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，其中利用關(guān)于x的方程2^|1-x|+m+1=0有唯一的實(shí)數(shù)解，變形得到關(guān)于x的方程2^|1-x|+1=-m有唯一的實(shí)數(shù)解，即-m為函數(shù)y=2^|1-x|+1的最值，是解答本題的關(guān)鍵．