Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）²lnx，a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.7182…
（1）如果x=e為函數(shù)y=f（x）的極大值點，求a的值；
（2）如果函數(shù)f（x）在x=e處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積等于2e³，求a的值；
（3）在（2）的條件下，當x∈[e，e²]時，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x=e為函數(shù)y=f（x）的極大值點，得到方程=（x-a）（2ln x+1-

a

x

）的根為e，根據(jù)根的定義，求出a值，最后根據(jù)極值的情況驗證結(jié)果．
（2）首先對函數(shù)求導，代入所給的x=e的條件，得到曲線y=f（x）在x=e處的切線方程，做出切線與x軸、y軸的交點坐標，表示出三角形的面積關(guān)于a的等式，即可求得a值．
（3）求出函數(shù)的導函數(shù)判斷出其大于零得到函數(shù)在區(qū)間[e，2e]上為減函數(shù)，[2e，e²]上為增函數(shù)．從而求出最小值，最大值即可．

解答：解：（1）求導得f'（x）=2（x-a）lnx+

(x-a)2

x

=（x-a）（2ln x+1-

a

x

）．
因為x=e是f（x）的極值點，所以f'（e）=(e-a)(3-

a

e

)=0，解得a=e或a=3e，經(jīng)檢驗，a=3e，符合題意．（要有檢驗過程）
（2）f'（x）=2（x-a）lnx+

(x-a)2

x

，
當x=e時，f'（e）=2（e-a）+

(e-a)2

e

，f（e）=（e-a）²lne=（e-a）²，
所以曲線y=f（x）在x=e處的切線方程為y-（e-a）²=[2（e-a）+

(e-a)2

e

]（x-e），
切線與x軸、y軸的交點坐標分別為（

2e2

3e-a

，0），（0，-2e（e-a）），
∴所求面積為

1

2

×|

2e2

3e-a

|×|-2e(e-a)|=2e3．
解之得，a=2e．
（3）在（2）的條件a=2e下，
f（x）=（x-2e）²lnx，f'（x）=2（x-2e）lnx+

(x-2e)2

x

，
對于x∈[e，2e]，有f'（x）＜0，∴f（x）在區(qū)間[e，2e]上為減函數(shù)．
對于x∈[2e，e²]，有f'（x）＞0，∴f（x）在區(qū)間[2e，e²]上為增函數(shù)．
∴f(x)max=f(e2)=2e2(e-2)2，f(x)min=f(2e)=0．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導數(shù)求極值和極值存在的條件、利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等，本題解題的關(guān)鍵是利用極值存在的條件展開運算，以及綜合運用函數(shù)解決數(shù)學問題的能力．