設(shè)直線l1:y=kx,l2:y=-kx,圓P是圓心在x軸的正半軸上,半徑為3的圓.
(Ⅰ)當(dāng)k=
3
4
時(shí),圓P恰與兩直線l1、l2相切,試求圓P的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l1與圓P交于A、B,l2與圓P交于C、D.
(1)當(dāng)k=
1
2
時(shí),求四邊形ABDC的面積;
(2)當(dāng)k∈(0,
3
4
)時(shí),求證四邊形ABDC的對(duì)角線交點(diǎn)位置與k的取值無關(guān).
分析:直線l1:y=kx,l2:y=-kx 關(guān)于x軸對(duì)稱.
(Ⅰ)設(shè)圓心P(a,0),a>0.利用切線的性質(zhì):圓心到切線的距離等于半徑,列方程求 a.
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2),(1)等腰梯形ABDC的面積=
1
2
(AC+BD)×h,AC,BD,h用x1,y1,x2,y2,表示.代入求解.
(2)根據(jù)圖形的對(duì)稱性,四邊形ABDC的對(duì)角線交點(diǎn)在x軸上.能證明此點(diǎn)是定點(diǎn)即可.
解答:解:直線l1:y=kx,l2:y=-kx 關(guān)于x軸對(duì)稱
(Ⅰ)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+y2=9,利用切線的性質(zhì):圓心到切線的距離等于半徑,
|
3
4
a|
1+(
3
4
)
2
=3,解得a=5
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+y2=9
(Ⅱ)(1)設(shè)A (x1,y1)B(x2,y2),則C(x1,-y1)D(x2,-y2),直線l1:y=
1
2
x 與圓P方程聯(lián)立,消去x得5y2-20y+16=0,得A(4-
4
5
5
,2-
2
5
5
),B(4+
4
5
5
,2+
2
5
5
).
等腰梯形ABDC的面積=
1
2
(AC+BD)×h=
1
2
(2y1+2y2)(x2-x1)=
1
2
×8×
8
5
5
=
32
5
5

(2)當(dāng)k∈(0,
3
4
)時(shí),y=kx與圓P方程聯(lián)立,并整理得:(1+k2)x2-10x+16=0,△=-64k2+36>0.x1=
10-
-64k2+36
2(1+k2)
,x2=
10+
-64k2+36
2(1+k2)

y1=
10k-
-64k4+36k2
2(1+k2)
,y2=
10k+
-64k4+36k2
2(1+k2)
,AC的斜率為k=
y1-(-y2)
x1-x2
=-
10k
-64k2+36

AC的方程為y-y1=k(x-x1),將x1,y1,k代入并化簡(jiǎn)整理得:y=
k
-64k2+36
(-10x+32)
.與x 軸交與定點(diǎn)(
16
5
,0)與k的值無關(guān).
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓的位置關(guān)系:相切,相交.聯(lián)立方程組是最基本的解題方法,考查圓心到直線的距離公式,考查題目的理解能力計(jì)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•揭陽(yáng)一模)如圖,設(shè)點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0)分別是橢圓C:
x2
a2
+y2=1(a>1)
的左、右焦點(diǎn),P為橢圓C上任意一點(diǎn),且
PF1
PF2
最小值為0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l1:y=kx+m,l2:y=kx+n,若l1、l2均與橢圓C相切,證明:m+n=0;
(3)在(2)的條件下,試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)B,點(diǎn)B到l1,l2的距離之積恒為1?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)B坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率e=
2
2
,左、右焦點(diǎn)分別為
F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P(2,
3
),點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l1:y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),直線F2M與F2N的傾斜角分別為α,β,且α+β=π,求證:直線l1經(jīng)過定點(diǎn),并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)若過點(diǎn)B(2,0)的直線l2(斜率不等于零)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)E,F(xiàn)(E在B,F(xiàn)之間),△OBE與△OBF的面積之比為
1
2
,求直線l2的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年廣東省汕頭市金山中學(xué)高三(上)開學(xué)摸底數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,設(shè)點(diǎn)F1(-c,0)、F2(c,0)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),P為橢圓C上任意一點(diǎn),且最小值為0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l1:y=kx+m,l2:y=kx+n,若l1、l2均與橢圓C相切,證明:m+n=0;
(3)在(2)的條件下,試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)B,點(diǎn)B到l1,l2的距離之積恒為1?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)B坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年北京市豐臺(tái)區(qū)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)直線l1:y=kx,l2:y=-kx,圓P是圓心在x軸的正半軸上,半徑為3的圓.
(Ⅰ)當(dāng)k=時(shí),圓P恰與兩直線l1、l2相切,試求圓P的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l1與圓P交于A、B,l2與圓P交于C、D.
(1)當(dāng)k=時(shí),求四邊形ABDC的面積;
(2)當(dāng)k∈(0,)時(shí),求證四邊形ABDC的對(duì)角線交點(diǎn)位置與k的取值無關(guān).

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