Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-8x+q²-q+1．
（1）若在區(qū)間[-1，1]上至少存在一點(diǎn)m，使f（m）＜0求實(shí)數(shù)q的范圍．
（2）問(wèn)是否存在常數(shù)t，若x∈[3，t]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長(zhǎng)度為2t．（注：區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為b-a）．

Answer 1

分析：（1）f（x）=（x-4）²+q²-q-15．f（x）對(duì)稱軸為x=4，開口向上，f（x）在[-1.1]上單調(diào)遞減，要滿足區(qū)間上至少存在一點(diǎn)m，使f（m）＜0，由此能求出實(shí)數(shù)q的范圍．
（2）．f（3）=q²-q-14，f（t）=t²-8t+q²-q+1，f（4）=q²-q-15．由此能求出D的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-8x+q²-q+1=（x-4）²+q²-q-15．
f（x）對(duì)稱軸為x=4，開口向上，
f（x）在[-1.1]上單調(diào)遞減，要滿足區(qū)間上至少存在一點(diǎn)m，
使f（m）＜0，
即要求f（1）＜0，f（1）=q²-q-6＜0，
（q-3）（q+2）＜0，
解得：{q|-2＜q＜3}．
（2）．f（3）=q²-q-14，
f（t）=t²-8t+q²-q+1，
f（4）=q²-q-15．
若f（3）＜f（t），
值域?yàn)閇q²-q-15，t²-8t+q²-q+1]，
區(qū)間長(zhǎng)度為t²-8t+16=2t，
解得t=2（舍去）或8．
若f（3）＞f（t），值域?yàn)閇q²-q-15，q²-q-14]，
區(qū)間長(zhǎng)度為1=2t，解得t=

1

2

（舍去）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．