Question

已知f（x）是一次函數(shù)，且f（0）=3，f（1）=5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）+3tx+t＞0恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)f（x）=kx+b（k≠0）（2分）
由（6分）
（2）由f（x）+3tx+t＞0在-2≤x≤1上恒成立，
得（3t+2）x+t+3＞0在-2≤x≤1上恒成立（8分）
令g（x）=（3t+2）x+t+3，知g（x）的圖象在-2≤x≤1上是一條線段，
只需線段的兩端點(diǎn)在x軸的上方（10分）
因此要（3t+2）x+t+3＞0在-2≤x≤1上恒成立，
只要：（12分）
得：（14分）
分析：（1）根據(jù)函數(shù)是一次函數(shù)，則設(shè)出其解析式，再由條件代入求解．
（2）當(dāng)-2≤x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）+3tx+t＞0恒成立，可轉(zhuǎn)化為（3t+2）x+t+3＞0在-2≤x≤1上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=（3t+2）x+t+3，知g（x）的圖象在-2≤x≤1上是一條線段，因此有，從而
可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)解析式以及恒成立問(wèn)題的處理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法．