已知球O在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi),如果球O是該正四面體的最大球,那么球O的表面積等于( )
A.
B.
C.2π
D.
【答案】分析:已知球O在一個(gè)棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi),如果球O是該正四面體的最大球,那么球O與此正四面體的四個(gè)面相切,即球心到四個(gè)面的距離都是半徑,由等體積法求出球的半徑,再由公式求體積
解答:解:由題意,此時(shí)的球與正四面體相切,
由于棱長(zhǎng)為的正四面體,故四個(gè)面的面積都是=3
又頂點(diǎn)到底面的投影在底面的中心,此點(diǎn)到底面三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是高的,又高為=3,故底面中心到底面頂點(diǎn)的距離都是2
由此知頂點(diǎn)到底面的距離是=2
此正四面體的體積是×2×3=2
又此正四面體的體積是×r×3×4,故有r==
球O的表面積等于4×π×=2π
故選C
點(diǎn)評(píng):本題考查球的體積和表面積,解答本題關(guān)鍵是理解球O是該正四面體的最大球,從中得出此時(shí)球是正四面體的內(nèi)切球,從而聯(lián)想到用等體積法求出球的半徑,熟練掌握正四面體的體積公式及球的表面積公式是正確解題的知識(shí)保證.
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已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2a的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的體積、表面積分別為(  )
A、4
3
πa3,12πa2
B、4
3
πa3,3πa2
C、
3
2
4πa3,12πa2
D、
3
2
4πa3,3πa2

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3
的正四面體內(nèi),如果球O是該正四面體的最大球,那么球O的表面積等于( 。
A、4
3
π
B、
4
3
π
3
C、2π
D、
3

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A.4
3
πa3,12πa2
B.4
3
πa3,3πa2
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3
2
4πa3,12πa2
D.
3
2
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已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2a的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的體積、表面積分別為( )
A.4πa3,12πa2
B.4πa3,3πa2
C.4πa3,12πa2
D.4πa3,3πa2

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