Question

若函數(shù)f(x)=

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x3-a2x滿足：對(duì)于任意的x₁，x₂∈[0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意函數(shù)f(x)=

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x3-a2x滿足：對(duì)于任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，必有函數(shù)f(x)=

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x3-a2x滿足其最大值與最小值的差小于等于1，由此不等式解出參數(shù)a的范圍即可，故可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷出最值，求出最大值與最小值的差，得到關(guān)于a的不等式，解出a的值．

解答：解：由題意f′（x）=x²-a²
當(dāng)|a|≥1時(shí)，在x∈[0，1]，恒有導(dǎo)數(shù)為負(fù)，即函數(shù)在[0，1]上是減函數(shù)，
故最大值為f（0）=0，最小值為f（1）=

1

3

-a²
故有a2-

1

3

≤1，解得|a|≤

2 3

3

，解可得-

2 3

3

≤a≤

2 3

3

；
又|a|≥1，則-

2 3

3

≤a≤-1或1≤a≤

2 3

3

．
當(dāng)|a|∈[0，1），由導(dǎo)數(shù)知函數(shù)在[0，a]上減，在[a，1]上增；
故最小值為f（a）=-

2

3

a3＜0，
又f（0）=0，f（1）=

1

3

-a²；
若f（0）=0是最大值，此時(shí)符合；若f（1）=

1

3

-a²是最大值，此時(shí)也符合，
故對(duì)任意的|a|∈[0，1）都有對(duì)于任意的x₁，x₂∈[0，1]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立
綜上得a的取值范圍是-

2 3

3

≤ a≤

2 3

3

、
故答案為：-

2 3

3

≤ a≤

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題的關(guān)鍵是要分析出|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min≤1，另外還要根據(jù)x∈[0，1]對(duì)a進(jìn)行分類討論判斷f′（x）=x²-a²的符號(hào)進(jìn)而可以根據(jù)單調(diào)性判斷f（x）在[0，1]的最值．