Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n?N^*．
（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象的頂點的坐標(biāo)為（a_n，f（a_n）），求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）圖象的頂點到y(tǒng)軸的距離構(gòu)成數(shù)列{b_n}，求數(shù)列{b_n}的前n項和；
（3）在（1）的條件下，若數(shù)列{c_n}滿足cn=1+

1

4n- 25 2 +an

（n?N^*），求數(shù)列{c_n}中值最大的項和值最小的項．

Answer 1

分析：（1）先把二次函數(shù)配方，頂點的橫坐標(biāo)就為所求數(shù)列{a_n}的通項，再按定義證明{a_n}是等差數(shù)列即可；
（2）數(shù)列{b_n}的通項即為數(shù)列{a_n}的通項的絕對值．再分情況求出數(shù)列{b_n}的前n項和；
（3）先利用（1）中求到的數(shù)列{a_n}的通項求出數(shù)列{c_n}的通項公式，再利用數(shù)列{c_n}的通項公式對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性來求數(shù)列{c_n}中值最大的項和值最小的項即可．

解答：（1）證明：由f（x）=x²-2（10-3n）x+9n²-61n+100變形可得f（x）=[x-（10-3n）]²-n．
∴頂點坐標(biāo)為（10-3n，-n），依題意有a_n=10-3n，（n?N^*）
∴a_n+1-a_n=[10-3（n+1）]-（10-3n）=-3，∴數(shù)列{a_n}是以首項為7，公差為-3的等差數(shù)列．（4分）
（2）函數(shù)f（x）圖象的頂點到y(tǒng)軸的距離構(gòu)成數(shù)列{b_n}，
∴b_n=|a_n|=|10-3n|=

10-3n?(n≤3，且n∈N*) 3n-10?(n≥4，且n∈N*)

由于數(shù)列{a_n}是一個等差數(shù)列，
當(dāng)n≤3時，b_n=10-3n，∴Sn=

3n2+17n

2

當(dāng)n≥4時，b_n=3n-10，b₄=2，d=3，
那么Sn=b1+b2+b3+

(n-3)[2+(3n-10)]

2

=

3n2-17n+48

2

所求數(shù)列的前n項和Sn=

-3n2+17n 2 ，??(n≤3且n∈N*) 3n2-17n+48 2 ．?(n≥4且n∈N*)

（8分）
（3）由（1）知，a_n=10-3n，∴cn=1+

1

4n- 25 2 +an

=1+

1

4n- 25 2 +10-3n

=1+

1

n- 5 2

∴函數(shù)g(x)=1+

1

x- 5 2

在區(qū)間(-∞，

5

2

)及(

5

2

，+∞)上分別為減函數(shù)，
∴1＞c₁＞c₂；c₃＞c₄＞c₅＞×××＞1
∴數(shù)列{c_n}中，值最大的項是c₃=3，值最小的項是c₂=-1．（13分）

點評：本題綜合考查了等差數(shù)列的證明，帶絕對值的數(shù)列的求和以及利用函數(shù)的單調(diào)性來研究數(shù)列中的最大最小項問題．是一道較難的題，涉及的知識面較多．