Question

已知奇函數f(x)=1+

m

4x+1

．
（1）求m的值；
（2）討論f（x）的單調性，并加以證明；
（3）解不等式f（x-1）+f（2-3x）＞0．

Answer 1

（1）f(x)=1+

m

4x+1

，
因為f（x）為奇函數，所以f（x）+f（-x）=0，
即1+

m

4x+1

+1+

m

4-x+1

=0，2+

m

4x+1

+

m•4x

1+4x

=0，2+

m(1+4x)

1+4x

=0，2+m=0，m=-2． 
（2）設任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

4x1+1

-(1-

2

4x2+1

)=

2

4x2+1

-

2

4x1+1

=

2(4x1-4x2)

(4x1+1)(4x2+1)

．
因為y=4^x在R上是增函數，且x₁＜x₂，
所以4x1＜4x2，所以4x1-4x2＜0，
又4x1+1＞0，4x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）是R上的增函數．      
（3）因為函數f（x）為增函數又是定義在R上的奇函數，
所以f（x-1）＞f（3x-2），
所以x-1＞3x-2，解得x＜

1

2

，
所以原不等式的解集為{x|x＜

1

2

}．