Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，有．
（1）判斷函數f（x）在[-1，1]上是增函數，還是減函數，并證明你的結論；
（2）解不等式：；
（3）若f（x）≤m²-2pm+1對所有x∈[-1，1]，p∈[-1，1]（p是常數）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數f（x）在[-1，1]上是增函數．
設-1≤x₁＜x₂≤1，
∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）．
又x₁＜x₂，∴x₂+（-x₁）≠0，由題設有＞0，
∵x₂+（-x₁）=x₂-x₁＞0，∴f（x₂）+f（-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數f （x） 在[-1，1]上是增函數．
（2）不等式?，
解得≤x＜-1．
（3）由（1）知f（x）_max=f（1）=1，∴f（x）≤m²-2pm+1對任意x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m²-2pm+1對p∈[-1，1]恒成立，即 m²-2pm≥0對p∈[-1，1]恒成立
設g（p）=m²-2mp，則．
解得 m≤-2或m≥2或m=0，
∴m的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．
分析：（1）先判斷單調性，設-1≤x₁＜x₂≤1，再利用函數的奇偶性和已知的條件得到＞0，由x₂-x₁＞0，得f（x₂）+f（-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），由函數的單調性的定義得到f （x） 在[-1，1]上是增函數．
（2）不等式等價于，解此不等式組求出它的解集．
（3）由（1）知f（x）_max=f（1）=1，要f（x）≤m²-2pm+1對任意x∈[-1，1]恒成立，只需1≤m²-2pm+1對
p∈[-1，1]恒成立，設g（p）=m²-2mp，有，解不等式組求得m的取值范圍．
點評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，函數的單調性的判斷和證明，函數的恒成立問題，體現了轉化的數學思想，根據函數的恒成立問題求m的取值范圍是解題的難點．