【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax﹣lnx(a∈R,a為常數(shù))
(1)當(dāng)a=﹣1時(shí),若方程f(x)= 有實(shí)根,求b的最小值;
(2)設(shè)F(x)=f(x)ex , 若F(x)在區(qū)間(0,1]上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:當(dāng)a=﹣1時(shí),f(x)=x2+x﹣lnx,

f′(x)=2x﹣1﹣ =

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,f(x)為減函數(shù);當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)為增函數(shù).

∴f(x)≥f(1)=0.

由f(x)= ,得b=xf(x),

又x>0,∴b≥0.

即b的最小值為0


(2)解:F(x)=f(x)ex

F′(x)=

設(shè)h(x)=

則h′(x)=﹣2x+ ,可知h′(x)在(0,1]上為減函數(shù).

從而h′(x)≥h′(1)=2﹣a.

①當(dāng)2﹣a≥0,即a≤2時(shí),h′(x)≥0,h(x)在區(qū)間(0,1]上為增函數(shù),

∵h(yuǎn)(1)=0,∴h(x)≤0在區(qū)間(0,1]上恒成立,即F′(x)≤0在區(qū)間(0,1]上恒成立.

∴F(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù),故a≤2滿足題意;

②當(dāng)2﹣a<0,即a>2時(shí),設(shè)函數(shù)h′(x)的唯一零點(diǎn)為x0,則h(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在(x0,1)上單調(diào)遞減.

又∵h(yuǎn)(1)=0,∴h(x0)>0.

∴F(x)在(x0,1)上單調(diào)遞增,

∵h(yuǎn)(ea)<0,∴F(x)在(0,ea)上遞減,這與F(x)在區(qū)間(0,1]上是單調(diào)函數(shù)矛盾.

∴a>2不合題意.

綜合①②得:a≤2


【解析】(1)把a(bǔ)=﹣1代入函數(shù)解析式,求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),求得原函數(shù)的最值,把f(x)= 轉(zhuǎn)化為b=xf(x),則b的最小值可求;(2)求出F′(x)= .設(shè)h(x)= ,可得h′(x)≥2﹣a.然后分a≤2和a>2研究F(x)在區(qū)間(0,1]上是否為單調(diào)函數(shù),從而求得a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.

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A.11
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B.3
C.2
D.4

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