Question

已知△ABC中，2

2

（sin²A-sin²C）=（a-b）sinB，外接圓半徑為

2

．
（1）求∠C；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把題設(shè)等式中的角的正弦轉(zhuǎn)化才邊的關(guān)系，把外接圓半徑代入求得a²+b²-c²=ab，根據(jù)余弦定理求得cosC的值，進而求得C．
（2）根據(jù)三角形的面積公式求得三角形面積的表達(dá)式，利用兩角和公式化簡整理后，根據(jù)角A的范圍求得面積的最大值．

解答：解：（1）由2

2

（sin²A-sin²C）=（a-b）•sinB得2

2

（

a2

4R2

-

c2

4R2

）=（a-b）

b

2R

．
又∵R=

2

，
∴a²-c²=ab-b²．
∴a²+b²-c²=ab．
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

．
又∵0°＜C＜180°，∴C=60°．
（2）S=

1

2

absinC=

1

2

×

3

2

ab
=2

3

sinAsinB=2

3

sinAsin（120°-A）
=2

3

sinA（sin120°cosA-cos120°sinA）
=3sinAcosA+

3

sin²A
=

3

2

sin2A-

3

2

cos2A+

3

2

=

3

sin（2A-30°）+

3

2

．
∴當(dāng)2A=120°，即A=60°時，S_max=

3 3

2

．

點評：本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用．考查了考生分析問題和解決問題的能力．