Question

已知過拋物線y²＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)❶，斜率為2的直線交拋物線于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁＜x₂)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.❷

       (1)求該拋物線的方程；

       (2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，❸若＝＋λ，求λ的值．

Answer 1

解　(1)直線AB的方程是y＝2，與y²＝2px聯(lián)立，從而有4x²－5px＋p²＝0，所以x₁＋x₂＝，

由拋物線定義得：|AB|＝x₁＋x₂＋p＝＋p＝9，

所以p＝4，從而拋物線方程為y²＝8x.

(2)由于p＝4,4x²－5px＋p²＝0可簡化為x²－5x＋4＝0，

從而x₁＝1，x₂＝4，y₁＝－2，y₂＝4，

從而A(1，－2)，B(4,4)；

設(shè)C(x₃，y₃)，則＝(x₃，y₃)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，

又y＝8x₃，即[2(2λ－1)]²＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)²＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.