Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²-9a²x（a≠0）．
（1）當a=l時，解不等式f（x）＞0；
（2）若方程f（x）=12lnx-6ax-9a²-a在[1，2]恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)a的取值范圍（注：ln2≈0.69）：
（3）當a＞0時，若f（x）在[0，2]的最大值為h（a），求h（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）當a=l時，不等式f（x）＞0即x³-3x²-9x＞0，將左邊因式分解，并利用一元二次不等式的解法結(jié)合分類討論，可得不等式f（x）＞0的解集；
（2）對f（x）求導數(shù)，將方程f'（x）=12lnx-6ax-9a²-a化簡整理，得a=12lnx-3x²，再通過構(gòu)造函數(shù)m（x）=12lnx-3x²，討論y=m（x）在[1，2]上的單調(diào)性，求得函數(shù)y=m（x）的極大值并比較區(qū)間端點的值，可得滿足條件的a的取值范圍；
（3）因為a＞0且f'（x）=3x²-6ax-9a²=3（x+a）（x-3a），得（0，3a）上是減函數(shù)，（3a，+∞）上是增函數(shù)．因此當3a≥2時，f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，最大值h（a）=f（0）；當3a＜2時，f（x）在[0，3a）上是減函數(shù)，在（3a，2]上是增函數(shù)，比較f（2）與f（0）的大小可得最大值的表達式．最后綜合以上所述，即可得到f（x）在[0，2]的最大值h（a）的表達式．

解答：解（1）當a=l時，不等式f（x）＞0即x³-3x²-9x＞0，
化簡得x（x²-3x-9）＞0，
∴

x＜0 x2-3x-9＜0

或

x＞0 x2-3x-9＞0

，
解之得

3-3 5

2

＜x＜0或x＞

3+3 5

2

所以當a=l時，解不等式f（x）＞0的解集為（

3-3 5

2

，0）∪（

3+3 5

2

，+∞）．…（2分）
（2）∵函數(shù)f（x）=x³-3ax²-9a²x的導數(shù)為：f'（x）=3x²-6ax-9a²，
∴方程f'（x）=12lnx-6ax-9a²-a整理得a=12lnx-3x²，令m（x）=12lnx-3x²，則
m'（x）=

12

x

-6x=

6(2-x2)

x

，（x∈[1，2]）．…（4分）
當x∈[1，

2

）時，m'（x）＞0；當x∈（

2

，2]時，m'（x）＜0，
∴函數(shù)y=m（x）在區(qū)間[1，

2

）上是增函數(shù)，在（

2

，2]上是減函數(shù)…（6分）
又∵m（1）=-3，m（2）=12（ln2-1）＜-3，m（

2

）=6（ln2-1）
∴當x∈[1，2]時，方程f'（x）=12lnx-6ax-9a²-a恰好有兩個相異的實根實數(shù)
的a的取值范圍為[-3，6（ln2-1））．…（8分）
（3）函數(shù)f（x）=x³-3ax²-9a²x的導數(shù)為：f'（x）=3x²-6ax-9a²=3（x+a）（x-3a）
∵a＞0，∴當x∈（0，3a）時，f'（x）＜0；當x∈（3a，+∞）時，f'（x）＞0
∴函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性是：（0，3a）上是減函數(shù)，（3a，+∞）上是增函數(shù)．
∈（0，3a）時當3a≥2時，即a≥

2

3

時，f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，最大值h（a）=f（0）=0
當3a＜2時，即0＜a＜

2

3

時，f（x）在[0，3a）上是減函數(shù)，在（3a，2]上是增函數(shù)
∵f（2）=8-12a-18a²，當0＜a＜

5 -1

3

時f（2）＞f（0），

5 -1

3

≤a＜

2

3

時f（2）≤f（0），
∴當0＜a＜

5 -1

3

時，f（x）最大值h（a）=f（2）=8-12a-18a²；
當

5 -1

3

≤a＜

2

3

時，f（x）最大值h（a）=f（0）=0
綜上所述，當a＞0時，f（x）在[0，2]的最大值h（a）的表達式為：
h（x）=

0       (a≥ 5 -1 3 ) -18a2-12a+8       (0＜a＜ 5 -1 3 )

．

點評：本題給出三次多項式函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性并求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，著重考查了運用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和含參數(shù)不等式的解法等知識，屬于中檔題．