Question

已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=tanx在x=-

π

4

處與直線y=ax+b+

π

2

相切，設(shè)g（x）=-bxlnx+a在定義域內(nèi)（　　）

• A、有極大值

  1

  e

• B、有極小值

  1

  e

• C、有極大值2-

  1

  e

• D、有極小值2-

  1

  e

Answer 1

考點(diǎn)：正切函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：先求出f′（x）=

1

cos2x

，再由條件根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得 a=f′（-

π

4

）=2．再把切點(diǎn)（-

π

4

，2）代入切線方程求得b，可得g（x）解析式．再根據(jù)g′（x）的符號(hào)，求出g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求得g（x）的極值．

解答： 解：由函數(shù)f（x）=tanx，可得f′（x）=

1

cos2x

．
再根據(jù)函數(shù)f（x）=tanx在x=-

π

4

處與直線y=ax+b+

π

2

相切，可得 a=f′（-

π

4

）=2．
再把切點(diǎn)（-

π

4

，2）代入直線y=ax+b+

π

2

，可得b=-1，∴g（x）=xlnx+1，g′（x）=lnx+1．
令g′（x）=lnx+1=0，求得x=

1

e

，在（0，

1

e

）上，g′（x）＜0，在（

1

e

，+∞）上，g′（x）＞0，
故g（x）在其定義域（0，+∞）上存在最小值為g（

1

e

）=2-

1

e

，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于基礎(chǔ)題．