Question

已知函數(shù)f(x)＝x³－ax²－3x．

(1)若f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若x＝－是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)在[1，a]上的最大值；

(3)在(2)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g(x)＝bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)？若存在，請求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)＝3x2－2ax－3． 　　∵f(x)在[1，＋∞)是增函數(shù)， 　　∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0， 　　即3x2－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立， 　　則必有≤1且(1)＝－2a≥0．∴a≤0；4分 　　(2)依題意，(－)＝0，即＋a－3＝0． 　　∴a＝4，∴f(x)＝x3－4x2－3x． 　　令＝3x2－8x－3＝0，得x1＝－，x2＝3． 　　則當(dāng)x變化時(shí)，與f(x)變化情況如下表 　　∴f(x)在[1，4]上的最大值是f(1)＝－6；8分 　　(3)函數(shù)g(x)＝bx的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，即方程x3－4x2－3x＝bx恰有3個(gè)不等實(shí)根． 　　∴x3－4x2－3x－bx＝0， 　　∴x＝0是其中一個(gè)根， 　　∴方程x2－4x－3－b＝0有兩個(gè)非零不等實(shí)根． 　　∴ 　　∴b＞－7且b≠－3． 　　∴存在滿足條件的b值，b的取值范圍是b＞－7且b≠－3(12分)