中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=
2
2
的橢圓的短軸上兩端點分別為A、B．M是橢圓上異于A、B的一點，直線AM、BM與x軸分別相交于P、Q兩點，O是坐標原點，若
.
OP
•
.
OQ
=2，求橢圓的方程．
分析：由已知條件，利用直線方程的截距式分別求出點P，Q的橫坐標的表達式，再利用
.
OP
•
.
OQ
=2和橢圓的方程求出橢圓的長軸，由此能求出橢圓方程．
解答：解：∵中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=
2
2
，
∴設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，a＞b＞0，
設(shè)M（x0，y0），P（p，0），Q（q，0）．
由直線方程的截距式及M，P，B三點共線，
得到
x0
q
+
y0
b
=1，
∴
bx0
b-y0
，
由直線方程的截距式及M，P，B三點共線，
得到
x0
p
-
y0
b
=1，
∴p=
bx0
b+y0
，
∵
.
OP
•
.
OQ
=2，
∴|pq|=
b2x02
b2-y02
=2，
由橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，a＞b＞0得
b2x02
b2-y02
=a2，
∴a2=2，
又∵離心率e=
2
2
，
∴a=
2
，c=b=1，
∴橢圓的方程為
x2
2
+y2=1．
點評：本題考查橢圓的應(yīng)用，涉及到向量、直線的截距式方程、橢圓等知識點，綜合性強，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓w的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為
6
3
，△ABC的頂點A，B在橢圓w上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求橢圓w的方程；
（2）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（3）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，函數(shù)y=f（x）的圖象是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓的兩段弧，則不等式f（x）＜f（-x）+x的解集為（　�。�
A、{x|-
2
＜x＜0或
2
＜x≤2}
B、{x|-2≤x＜-
2
或
2
＜x≤2}
C、{x|-2≤x＜-
2
2
或
2
2
＜x≤2}
D、{x|-
2
＜x＜
2
，且x≠0}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，函數(shù)y=f（x）的圖象是中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的兩段弧，則不等式f（x）＜f（-x）+x的解集為（　�。�
A、{
2
2
＜x≤2或
2
2
＜x≤2}
B、{x|-2≤x＜
2
或
2
＜x≤2}
C、{x|-
2
＜x＜0或
2
＜x≤2}
D、{x|-
2
＜x＜
2
，且x≠0}

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年山西省孝義市高二第二次月考考試數(shù)學文卷 題型：解答題

（12分）

    已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，長軸長等于12，離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過橢圓左頂點作直線l垂直于x軸，若動點M到橢圓右焦點的距離比它到直線l的距離小4，求點M的軌跡方程.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：東城區(qū)模擬 題型：解答題

已知橢圓w的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為
6
3
，△ABC的頂點A，B在橢圓w上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求橢圓w的方程；
（2）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（3）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．

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