Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ln（x-a）（a∈R）．
（1）若f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a≤-2時(shí)，g（a）表示函數(shù)f（x）在[-1，0]上的最大值，求g（a）的表達(dá)式；
（3）求證：．

Answer 1

解：（1）法一：∵f（x）=x²+ln（x-a）（a∈R），∴x＞a，
∴=（x＞a）．
令g（x）=2x²-2ax+1，△=4a²-8=4（a²-2）．
當(dāng)△＞0時(shí)，得或a．
若a，則f^′（x）＞0在x＞a時(shí)恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）無(wú)極值點(diǎn)；
若，設(shè)g（x）=2x²-2ax+1=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∵，∴a＜x₁＜x₂，若下表：
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）由兩個(gè)極值點(diǎn)．
法二：=（x＞a）．
設(shè)g（x）=2x²-2ax+1，f（x）由兩個(gè)極值點(diǎn)?g（x）=0由兩個(gè)大于a的不等實(shí)數(shù)根x₁，x₂（x₁＜x₂）．
∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）由兩個(gè)極值點(diǎn)．
（2）當(dāng)a≤-2時(shí)，由（1）知，∴a＜x₁＜-1＜x₂＜0．
∴f（x）在[-1，x₂]上為減函數(shù)，而在[x₂，0]上為增函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）和f（0）中的最大的那一個(gè)．
∵f（-1）=1+ln（-1-a），f（0）=ln（-a）．
設(shè)h（a）=f（-1）-f（0）==．
∵a≤-2，∴，∴，故h（a）＞0．
∴最大值為f（-1）．
即g（a）=f（-1）=1+ln（-1-a）（a≤-2）．
（3）由（2）可知：當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=x²+ln（x+2）有最大值f（-1）=1+ln（-1+2）=1．
取，n∈N₊．則．
即=．
法一：由=，
把n依次取n，n-1，…1得到n個(gè)不等式，再相加得：
ln（n+1）
≤=．
∴．
即．
法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，易知成立．
假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即，（k∈N₊）成立．
當(dāng)n=k+1時(shí)，
=
=
＜
＜0（由歸納假設(shè)及．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．
故得證．
分析：（1）f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)?f^′（x）=0在定義域內(nèi)有不同的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）當(dāng)a≤-2時(shí)，由（1）可知a＜x₁＜-1＜x₂＜0．及f（x）在[-1，x₂]與[x₂，0]上的單調(diào)性可得：f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）和f（0）中的最大的那一個(gè)．
（3）利用（2）的結(jié)論可得：=．把n依次取n，n-1，…1得到n個(gè)不等式，再相加即可得到．或利用上下歸納法也可證明．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)解決含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，熟練掌握導(dǎo)數(shù)、三個(gè)二次及分類討論思想方法是解題的關(guān)鍵．