Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)（2，1）作圓x²+y²=4的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是

x2

20

+

y2

16

=1

．

Answer 1

分析：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與切線垂直，列出方程得到AB的方程，將右焦點(diǎn)坐標(biāo)及上頂點(diǎn)坐標(biāo)代入AB的方程，求出參數(shù)c，b；利用橢圓中三參數(shù)的關(guān)系求出a，求出橢圓方程．

解答：解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n）則

n-1

m-2

•

n

m

=-1即m²+n²-n-2m=0
∵m²+n²=4
∴2m+n-4=0
即AB的直線方程為2x+y-4=0
∵線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)
∴2c-4=0；b-4=0
解得c=2，b=4
所以a²=b²+c²=20
故橢圓方程為

x2

20

+

y2

16

=1
故答案為：

x2

20

+

y2

16

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，圓的切線的性質(zhì)、橢圓中三參數(shù)的關(guān)系：a²=b²+c²，考查計(jì)算能力．