Question

已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1(0，-2

2

)，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y=-

9

4

2

，且離心率e滿足

2

3

，e，

4

3

成等比數(shù)列．
（1）求橢圓的方程；
（2）試問是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線x=-

1

2

平分？若存在，求出l的傾斜角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于

2

3

，e，

4

3

成等比數(shù)列求得離心率e，設(shè)p（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，依橢圓的定義得x，y的關(guān)系式，即為所求的橢圓方程．
（2）對(duì)于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)l存在，設(shè)l的方程為：y=kx+m，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得傾斜角的取值范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）∵

2

3

，e，

4

3

成等比數(shù)列∴e2=

2

3

×

4

3

e=

2

3

2

設(shè)p（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，依橢圓的定義得

x2+(y+2 2 )2

|y+ 9 4 2 |

=

2 2

3

，化簡得9x2+y2=9
即x2+

y2

9

=1為所求的橢圓方程．
（2）假設(shè)l存在，因l與直線x=-

1

2

相交，不可能垂直x軸
因此可設(shè)l的方程為：y=kx+m
由

y=kx+m 9x2+y2=9

消去y，得9x2+(kx+m)2=9整理得
（k²+9）x²+2kmx+（m²-9）=0①
方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根
∴△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0即m²-k²-9＜0②
設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
∴x1+x2=

-2km

k2+9

∵線段MN恰被直線x=-

1

2

平分
∴-

1

2

=

x1+x2

2

即-

2km

k2+9

=-1
∵k≠0∴m=

k2+9

2k

③把③代入②得 (

k2+9

2k

)2-(k2+9)＜0
∵k²+9＞0∴

k2+9

4k2

-1＜0∴k²＞3解得k＞

3

或k＜-

3

∴直線l的傾斜角范圍為(

π

3

，

π

2

)∪(

π

2

，

2π

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，注意（2）的處理存在性問題的一般方法，首先假設(shè)存在，進(jìn)而根據(jù)題意、結(jié)合有關(guān)性質(zhì)，化簡、轉(zhuǎn)化、計(jì)算，最后得到結(jié)論．