Question

已知（3x-1）⁷=a₇x⁷+a₆x⁶+…+a₁x+a₀
求 （1）a₁+a₂+…+a₇；
（2）a₁+a₃+a₅+a₇；
（3）a₀+a₂+a₄+a₆；
（4）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|．（要求算出最終結(jié)果）

Answer 1

解：（1）取x=1代入上面的等式則有
a₀+a₁+a₂+…+a₇=（3-1）⁷ =2⁷ =128，①
令x=0可得，a₀=-1
∴a₁+a₂+…+a₇=128-a₀=129
（2）令x=-1，
∴a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇=-4⁷ ②
①-②可得：2（a₁+a₃+a₅+a₇）=128+16384=16512
∴a₁+a₃+a₅+a₇=8256
（3）①+②得2（a₀+a₂+a₄+a₆）=128-16384=-16256
∴a₀+a₂+a₄+a₆=-8128
（4）由（2）和（3）可以知道）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|=（a₁+a₃+a₅+a₇）-（a₀+a₂+a₄+a₆）=16384
分析：（1）根據(jù)所給的二項式，給x賦值，使得x=1，代入x=1以后，寫出各項系數(shù)之和，減去常數(shù)項，得到要求的結(jié)果．
（2）根據(jù)上一問寫出的一個賦值后的式子，再給x賦值-1，寫出式子，把兩個式子相減，得到要求的結(jié)果的2倍，除以2得到結(jié)果．
（3）根據(jù)上面兩個賦值的式子，兩個式子相加，除以2以后得到結(jié)果．
（4）根據(jù)上面做出的（2）（3）兩個結(jié)果，求各個項的絕對值之和，把上面得到的兩個式子的知相加即可．
點評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是給變量賦值，從賦值以后的結(jié)果上，變化出要求的各個系數(shù)之和．