Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=3．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥BD；
（Ⅱ）求直線A₁C與側面BB₁C₁C所成的角的正切值；
（Ⅲ）求二面角B₁-CD-B的正切值．

Answer 1

分析：（I）連AC，要證A₁C⊥BD，只需證明AC⊥BD，說明AC是A₁C在平面ABCD上的射影即可；
（II）說明∠A₁CB₁就是直線A₁C與側面BB₁C₁C所成的角，解三角形A₁CB₁，求直線A₁C與側面BB₁C₁C所成的角的正切值；
（III）找出∠B₁CB為二面角B₁-CD-B的平面角，通過角三角形求二面角B₁-CD-B的正切值．

解答：解：（I）連AC，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD
又側棱AA₁⊥平面ABCD
∴AC是A₁C在平面ABCD上的射影
∴A₁C⊥BD（三垂線定理）；（4分）
（II）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，
所以B₁C是A₁C在平面BB₁C₁C上的射影
∴∠A₁CB₁就是直線A₁C與側面BB₁C₁C所成的角，（6分）
在直角三角形A₁CB₁，A₁B₁⊥B₁C，A₁B₁=2，
B1C=

B B 2 1 +BC2

=

13

∴tanA1CB1=

A1B1

B1C

=

2

13

=

2 13

13

；（9分）
（III）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CD⊥平面BB₁C₁C
∴CD⊥B₁C，CD⊥BC
∴∠B₁CB為二面角B₁-CD-B的平面角，（11分）
∴tan∠B1CB=

B1B

BC

=

3

2

二面角B₁-CD-B的正切值為

3

2

．

點評：本題考查三垂線定理，直線與平面所成的角，二面角及其度量，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．