Question

6．設(shè)函數(shù)f（1+x）=ln（2+x）-ln（-x）．
（Ⅰ）求f（x）及f（x）的定義域A；
（Ⅱ）若a∈A，試判斷f（$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$）與f（a）的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）令1+x=t，則x=t-1，換元可得解形式，進而可得定義域；
（Ⅱ）作差比較可得$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$＜a，由分類討論和函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：（Ⅰ）令1+x=t，則x=t-1，
換元可得f（t）=ln（2+t-1）-ln（-t+1）
=ln（1+t）-ln（1-t）=ln$\frac{1+t}{1-t}$，
由對數(shù)有意義可得$\left\{\begin{array}{l}{1+t＞0}\\{1-t＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜t＜1
∴f（x）的定義域A=（-1，1），f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）；
（Ⅱ）∵a∈A，∴-1＜a＜1，
∴$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$-a=$\frac{2a-a-{a}^{3}}{1+{a}^{2}}$=$\frac{a-{a}^{3}}{1+{a}^{2}}$=$\frac{a（1-{a}^{2}）}{1+{a}^{2}}$，
∴當-1＜a＜0時，$\frac{a（1-{a}^{2}）}{1+{a}^{2}}$＜0，即$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$＜a，
∵函數(shù)y=ln（1+x）和y=-ln（1-x）均在A上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）在A上單調(diào)遞增，
此時有f（$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$）＜f（a）；
∴當0＜a＜1時，$\frac{a（1-{a}^{2}）}{1+{a}^{2}}$＞0，即$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$＞a，
此時有f（$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$）＞f（a）；
∴當a=0時，$\frac{a（1-{a}^{2}）}{1+{a}^{2}}$=0，即$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$=a，
此時有f（$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$）=f（a）

點評 本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及函數(shù)的單調(diào)性和式子大小比較以及分類討論的思想，屬中檔題．