Question

（理）已知函數(shù)f（x）=sinx+ln（1+x）．
（I）求證：

1

n

＜f（

1

n

）＜

2

n

（n∈N⁺）；
（II）如果對(duì)任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）令g（x）=2x-f（x），G（x）=f（x）-x根據(jù)其單調(diào)性可得（x）在（0，+∞）遞增以及G（x）在（0，1]遞增，從而可得結(jié)論．
（II）結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)果對(duì)a的取值分情況討論，結(jié)合其單調(diào)性即可求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ） 令g（x）=2x-f（x），G（x）=f（x）-x．
∵g′（x）=2-cosx-

1

x+1

，定義域?yàn)椋?，+∞）；
∴g（x）在（0，+∞）遞增，⇒g（

1

n

）＞g（0）⇒2×

1

n

-f（

1

n

）＞0⇒f（

1

n

）＜

2

n

；
G（x）在（0，1]遞增⇒G（

1

n

）＞G（0）⇒f（

1

n

）-

1

n

＞0⇒f（

1

n

）＞

1

n

．
從而可得結(jié)論．
（Ⅱ）  ①當(dāng)a≥2時(shí)，對(duì)x≥0，由（Ⅰ） 的證明知f（x）≤2x≤ax．
②當(dāng)a≤0時(shí)，f(

π

2

)=1+ln(1+

π

2

)＞0≥a•

π

2

，不合題意．
③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，今F（x）=f（x）-ax．
則F′(x)=cosx+

1

1+x

-a=(cosx-

a

2

)+(

1

1+x

-

a

2

)．
取x0=min{arccos

a

2

，

2

a

-1}．則x₀＞0．
易知當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，
∴F（x）遞增⇒F（x）＞F（0）=0，即f（x）＞ax，不合題意．
綜上知：a∈[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．導(dǎo)函數(shù)大于0對(duì)應(yīng)的范圍是原函數(shù)的增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)小于0對(duì)應(yīng)的范圍是原函數(shù)的減區(qū)間．