Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F2在x軸上，離心率為.過F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8.過定點(diǎn)M(0，3)的直線l1與橢圓C交于G，H兩點(diǎn)(點(diǎn)G在點(diǎn)M，H之間)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線l1的斜率k>0，在x軸上是否存在點(diǎn)P(m，0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

(1) ＝1(2)

【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為＝1(a>b>0)，由離心率e＝＝，△ABF2的周長(zhǎng)為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，得a＝2，c＝1，則b2＝a2－c2＝3.

所以橢圓C的方程為＝1.

(2)由題意可知，直線l1的方程為y＝kx＋3(k>0)．

由得(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，①

Δ＝(24k)2－4×24×(3＋4k2)>0，解得k>.

設(shè)橢圓的弦GH的中點(diǎn)為N(x0，y0)，則“在x軸上是否存在點(diǎn)P(m，0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形為菱形”等價(jià)于“在x軸上是否存在點(diǎn)P(m，0)，使得PN⊥l1”．

設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)，由韋達(dá)定理，得x1＋x2＝－，

則x0＝＝－，所以y0＝kx0＋3＝，

即N，kPN＝－.

從而－·k＝－1，

解得m＝－.

又因?yàn)?/span>m′(k)＝>0，

所以函數(shù)m＝－在定義域上單調(diào)遞增，且mmin＝m＝－，即m∈.

故存在滿足條件的點(diǎn)P(m，0)，m的取值范圍為