Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

3

sin2x+2cos2x+2．
（I）求f（x）的最小正周期和值域；
（II）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）先降冪擴角，再利用輔助角公式，化簡函數(shù)，即可求得f（x）的最小正周期和值域；
（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，整體思維，即2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，從而可得結(jié)論．

解答：解：（I）∵f（x）=

3

sin2x+2cos2x+2=

3

sin2x+cos2x+3=2(

3

2

sin2x+

1

2

cos2x)+3
=2(cos

π

6

sin2x+sin

π

6

cos2x)=2sin(2x+

π

6

)+3…（4分）
∴f（x）最小正周期為T=π，…（6分）
∵當x=2kπ+

π

2

，k∈z時，f（x）有最大值5
當x=2kπ-

π

2

，k∈z時，f（x）有最小值1                    …（8分）
∴f（x）的值域為[1，5]…（9分）
（II）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z
得2kπ-

2π

3

≤2x≤2kπ+

π

3

kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

…（12分）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．…（13分）

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查函數(shù)的性質(zhì)，正確化簡函數(shù)，整體思維是關(guān)鍵．