Question

給定雙曲線x2-

y2

2

=1．
（1）過點A（2，1）的直線L與所給的雙曲線交于兩點P₁及P₂，求線段P₁P₂的中點P的軌跡方程．
（2）過點B（1，1）能否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點Q₁及Q₂，且點B是線段Q₁Q₂的中點？這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線L的方程代入雙曲線方程，設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P(

.

x

，

.

y

)，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂的表達(dá)式，表示出x，把x代入直線方程求得y的表達(dá)式，再由

.

x

，

.

y

的表達(dá)式相除后消去k而得所求軌跡的普通方程即是所求的軌跡方程．
（2）設(shè)所求直線方程為y=k（x-1）+1，代入雙曲線方程，設(shè)Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂求得k，代入判別式結(jié)果小于0，進(jìn)而斷定滿足題設(shè)中條件的直線不存在．

解答：解：設(shè)直線L的方程為y=k（x-2）+1，（1）
將（1）式代入雙曲線方程，得：（2-k²）x²+（4k²-2k）x-4k²+4k-3=0，（2）
又設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P(

.

x

，

.

y

)，
則x₁，x₂必須是（2）的兩個實根，所以有x1+x2=

4k2-2k

k2-2

(k2-2≠0)．
按題意，

.

x

=

1

2

(x1+x2)，∴

.

x

=

2k2-k

k2-2

．
因為(

.

x

，

.

y

)在直線（1）上，所以

.

y

=k(

.

x

-2)+1=k(

2k2-k

k2-2

-2)+1=

2(2k-1)

k2-2

．
再由

.

x

，

.

y

的表達(dá)式相除后消去k而得所求軌跡的普通方程為

8( . x -1)2

7

-

4( . y - 1 2 )2

7

=1，這就是所求的軌跡方程．

（2）設(shè)所求直線方程為y=k（x-1）+1，代入雙曲線方程，整理得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0，（3）
設(shè)Q1(

.

x

1，

.

y

1)，Q2(

.

x

2，

.

y

2)，則

.

x

1，

.

x

2必須是（3）的兩個實根，
即

.

x

1+

.

x

2=

2k2-2k

k2-2．

如果B是Q₁Q₂的中點，
就有

1

2

（x₁+x₂）=1，

.

x

1+

.

x

2=2，所以有

2k2-2k

k2-2

=2．
綜合起來，k應(yīng)滿足(I)

(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)≥0 2k2-2k k2-2 =2

．
由第二式解出k=2，但k=2不滿足第一式，所以（I）無解．
故滿足題設(shè)中條件的直線不存在．

點評：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．解題的結(jié)果一定注意放到判別式中進(jìn)行驗證．