Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（lga+2）x+lgb滿足f（-1）=-2，且對于任意x∈R恒有f（x）≥2x成立．
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）設g（x）=f（x）-2x，若存在實數(shù)t，當x∈[1，m]時，g（x+t）≤x恒成立，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

（1）由f（-1）=-2知，lgb-lga+1=0①，∴a=10b②．
又對于任意x∈R，f（x）≥2x恒成立，即f（x）-2x≥0恒成立，則x²+x•lga+lgb≥0恒成立，故△=lg²a-4lgb≤0，
將①式代入上式得：lg²b-2lgb+1≤0，即（lgb-1）²≤0，故lgb=1，即b=10，代入②得，a=100；
故a=100，b=10．
（2）g（x）=f（x）-2x=x²+2x+1=（x+1）²，
∵存在實數(shù)t，當x∈[1，m]時，g（x+t）≤x恒成立，即（x+t+1）²≤x恒成立．
∴?t∈R，-

x

≤x+t+1≤

x

，即-

x

-x≤t+1≤

x

-x，x∈[1，m]恒成立．
設

x

=u≥1，則-u-u²≤t+1≤u-u²，
∴(-u-u2)max≤t+1≤(u-u2)min，
∵當

m

≥u≥1時，-u2-u=-(u+

1

2

)2+

1

4

單調遞減，故u=1時取得最大值-2；
-u2+u=-(u-

1

2

)2+

1

4

單調遞減，故u=

m

時取得最小值

m

-m．
∴-2≤t+1≤

m

-m．
∴-2≤

m

-m，即(

m

)2-

m

-2≤0，化為(

m

+1)(

m

-2)≤0，
又m≥1，解得1＜

m

≤2，解得1＜m≤4，
∴實數(shù)m的最大值是4．