Question

已知等差數(shù)列a_n中，公差d＞0，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)由bn=

Sn

n+c

（c≠0）構(gòu)成的新數(shù)列為b_n，求證：當(dāng)且僅當(dāng)c=-

1

2

時(shí)，數(shù)列b_n是等差數(shù)列；
（3）對于（2）中的等差數(shù)列b_n，設(shè)cn=

8

(an+7)•bn

（n∈N^*），數(shù)列c_n的前n項(xiàng)和為T_n，現(xiàn)有數(shù)列f（n），f(n)=

2bn

an-2

-Tn（n∈N^*），
求證：存在整數(shù)M，使f（n）≤M對一切n∈N^*都成立，并求出M的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)，有a₁+a₄=a₂+a₃=14，與a₂•a₃=45聯(lián)立，計(jì)算可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）首先計(jì)算Sn，代入數(shù)列 {

Sn

n+c

}，可得其通項(xiàng)公式，運(yùn)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)分析，可得答案．
（3）根據(jù)題意，對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即存在整數(shù)M，使f（n）≤M對一切n∈N^*都成立，再將數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n可得b_n的通項(xiàng)公式，進(jìn)而運(yùn)算消項(xiàng)求和法，求出M的最小值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）∵等差數(shù)列a_n中，公差d＞0，
∴

a2•a3=45 a1+a4=14

?

a2•a3=45 a2+a3=14

?

a2=5 a3=9

?d=4?an=4n-3（4分）
（2）Sn=

n(1+4n-3)

2

=n(2n-1)，bn=

Sn

n+c

=

n(2n-1)

n+c

，（6分）
由2b₂=b₁+b₃得

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，化簡得2c²+c=0，c≠0，∴c=-

1

2

（8分）
反之，令c=-

1

2

，即得b_n=2n，顯然數(shù)列b_n為等差數(shù)列，
∴當(dāng)且僅當(dāng)c=-

1

2

時(shí)，數(shù)列b_n為等差數(shù)列．（10分）
（3）∵cn=

8

(an+7)•bn

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

f(n)=

2bn

an-2

-Tn=

4n

4n-5

-

n

n+1

=1+

5

4n-5

-1+

1

n+1

=

5

4n-5

+

1

n+1

（12分）
∵f(1)=-

9

2

，而n≥2時(shí)f(n+1)-f(n)=

5

4n-1

+

1

n+2

-

5

4n-5

-

1

n+1

=

-20

(4n-1)(4n-5)

-

1

(n+2)(n+1)

＜0
∴f（n）在n≥2時(shí)為單調(diào)遞減數(shù)列，此時(shí)f（n）_max=f（2）=2（14分）
∴存在不小于2的整數(shù)，使f（n）≤2對一切n∈N^*都成立，M_min=2（16分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，注意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析，可以減少運(yùn)算量，降低難度．