Question

已知空間任一點O和不共線的三點A，B，C，滿足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

(x，y，z∈R)，則”x+y+z=1”是“點P位于平面ABC內(nèi)”的（　　）

A．充分但不必要條件	B．必要但不充分條件
C．充要條件	D．既不充分也不必要條件

Answer 1

已知空間任一點O和不共線的三點A，B，C，滿足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

(x，y，z∈R)，則”x+y+z=1”是“點P位于平面ABC內(nèi)”的充要條件．證明如下：
（必要性）依題意知，B、C、D三點不共線，
則由共面向量定理的推論知：四點A、B、C、D共面
?對空間任一點O，存在實數(shù)x₁、y₁，使得

OA

=

OB

+x₁

BC

+y₁

BD

=

OB

+x₁（

OC

-

OB

）+y₁（

OD

-

OB

）
=（1-x₁-y₁）

OB

+x₁

OC

+y₁

OD

，
取x=1-x₁-y₁、y=x₁、z=y₁，
則有

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

，且x+y+z=1．
（充分性）對于空間任一點O，存在實數(shù)x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．
所以x=1-y-z得

OA

=（1-y-z）

OB

+y

OC

+z

OD

．

OA

=

OB

+y

BC

+z

BD

，即：

BA

=y

BC

+z

BD

，
所以四點A、B、C、D共面．
所以，空間任意無三點共線的四點A、B、C、D共面的充分必要條件是：
對于空間任一點O，存在實數(shù)x、y、z且x+y+z=1，使得

OA

=x

OB

+y

OC

+z

OD

．
故選C．