已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上, 且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊長為2的等腰直角三角形
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)Q?若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

（1）橢圓方程為；（2）存在定點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn) 

解析試題分析：（1）由橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,等腰直角三角形斜邊長為2，即，故，由此可得橢圓方程 （2）首先考慮與坐標(biāo)軸平行的特殊情況，當(dāng)與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程為；當(dāng)與y軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為，解方程組求出這兩個(gè)圓的交點(diǎn)：
若存在定點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)只可能為 
接下來就一般情況證明為所求 設(shè)直線，則，將與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得：，代入上式證明其等于0即可
試題解析：（1）由橢圓兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,
又斜邊長為2,即故,
橢圓方程為                                  （4分）
（2）當(dāng)與x軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為;
當(dāng)與y軸平行時(shí),以AB為直徑的圓的方程為
,故若存在定點(diǎn)Q,則Q的坐標(biāo)只可能為    （6分）
下證明為所求:
若直線斜率不存在,上述已經(jīng)證明 設(shè)直線,
,
,                           （8分）

       （10分）

,即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)                  （13分）
注: 此題直接設(shè),得到關(guān)于的恒成立問題也可求解
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)為(，0)．
(1)求橢圓的方程；  
(2)若過原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求證：點(diǎn)到直線的距離為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是橢圓＝1的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k.

(1)若直線PA平分線段MN，求k的值；
(2)當(dāng)k＝2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；
(3)對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB..

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M(0，1)，直線l：y＝kx－與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(1)若AB＝，求k的值；
(2)求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程為x＝－2，該拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線x＝－2的距離都與到定點(diǎn)N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時(shí)與直線l1：y＝x和l2：y＝－x相切的圓，
(1)求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；
(2)是否存在一條直線l同時(shí)滿足下列條件：
①l分別與直線l1和l2交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為E(4，1)；
②l被圓N截得的弦長為2.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦距為2，且過點(diǎn).
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn).
①當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求的長；
②求的內(nèi)切圓的面積的最大值，并求出當(dāng)的內(nèi)切圓的面積取最大值時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)，點(diǎn)A、B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線AB與圓G：x2＋y2＝(c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓G的兩切線，切點(diǎn)分別為M、N.

(1)若橢圓C經(jīng)過兩點(diǎn)、，求橢圓C的方程；
(2)當(dāng)c為定值時(shí)，求證：直線MN經(jīng)過一定點(diǎn)E，并求·的值(O是坐標(biāo)原點(diǎn))；
(3)若存在點(diǎn)P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓＝1(a＞b＞0)，點(diǎn)P在橢圓上．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)Q在橢圓上且滿足AQ＝AO，求直線OQ的斜率的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C1:+=1(a>b>0),拋物線C2:x2+by=b2.

(1)若C2經(jīng)過C1的兩個(gè)焦點(diǎn),求C1的離心率;
(2)設(shè)A(0,b),Q（3,b）,又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若△AMN的垂心為B（0,b）,且△QMN的重心在C2上,求橢圓C1和拋物線C2的方程.

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