Question

設f（x）=為奇函數(shù)，a為常數(shù)．
（1）求a的值；并判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若對于區(qū)間（3，4）上的每一個x的值，不等式f（x）＞恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴定義域關于原點對稱，
由，得（x-1）（1-ax）＞0．
令（x-1）（1-ax）=0，得x₁=1，x₂=，∴=-1，解得a=-1．
令u（x）==1+，設任意x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（1，+∞），
則u（x₁）-u（x₂）=，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴u（x₁）-u（x₂）＞0，即u（x₁）＞u（x₂）．
∴u（x）=1+（x＞1）是減函數(shù)，
又為減函數(shù)，
∴f（x）=在（1，+∞）上為增函數(shù)．
（2）由題意知-＞m，x∈（3，4）時恒成立，
令g（x）=-，x∈（3，4），由（1）知在[3，4]上為增函數(shù)，
又-在（3，4）上也是增函數(shù)，故g（x）在（3，4）上為增函數(shù)，
∴g（x）最小值為g（3）=-=-，
∴m≤-，故實數(shù)m的范圍是（-∞，-]．
分析：（1）由奇函數(shù)的定義域關于原點對稱可求得a值，根據(jù)單調(diào)性的定義及復合函數(shù)單調(diào)性的判定方法可判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）不等式f（x）＞恒成立，等價于f（x）-＞m恒成立，構造函數(shù)g（x）=f（x）-，x∈（3，4），轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）在（3，4）上的最值問題即可解決．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及函數(shù)恒成立問題，奇偶性、單調(diào)性問題常用定義解決，而函數(shù)恒成立問題則常轉(zhuǎn)化為最值問題處理．